首先，我们计算 $J(u+\epsilon v)$ 的表达式。对于给定的 $\epsilon$ 和满足边界条件的光滑函数 $v$，我们将 $u$ 替换为 $u + \epsilon v$ 并计算泛函 $J(u)$：

\[ J(u+\epsilon v)=\iiint_{\Omega} \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial (u+\epsilon v)}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial (u+\epsilon v)}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial (u+\epsilon v)}{\partial z}\right)^2\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iint_{\Gamma}\left(\frac{1}{2} \sigma (u+\epsilon v)^2-g (u+\epsilon v)\right) \mathrm{d} s \]

然后，我们将上述表达式展开并保留到一阶项，即根据 $\epsilon$ 的幂次进行展开，并收集 $\epsilon$ 的系数，这样就得到了 $J(u+\epsilon v)$ 关于 $\epsilon$ 的表达式。

最后，我们需要求得 $J(u+\epsilon v)$ 对于 $\epsilon$ 的一阶导数，即 $\frac{dJ(u+\epsilon v)}{d\epsilon}$。将这个导数设置为零，并解出关于 $v$ 的方程，这将得到变分问题的极值条件。

通过以上步骤，我们能够得到 $J(u+\epsilon v)$ 的表达式，并且根据求导和极值条件，确定最优的 $v$ 函数形式，从而继续推导出与原变分问题等价的边值问题。